【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜図形の性質〜

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【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜図形の性質〜

2016.11.02

提供元:マイナビ進学編集部

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【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜図形の性質〜

数学にはさまざまな単元が存在しますが、中でも「図形分野」が苦手という人もいるでしょう。計算の問題と違って、どんな定理を適用すればいいのか、補助線をどう引けばいいのかといった発想が浮かびづらい分、成績を伸ばすのに苦労している人もいるかもしれません。

今回は、オンライン学習塾「アオイゼミ」で数学を担当されている中塚祐太郎先生に「図形の性質」を理解すべき理由や、問題を解くときの考え方について伺いました。

この記事をまとめると

  • 「図形の性質」を得意にするために、まず「相似」をマスターしよう
  • 相似は入試によく出題される上に、相似から説明できる定理も存在する
  • 方べきの定理は、相似を利用して証明することができる

まず第一に、「相似」をマスターすべき!

まずは、「図形の性質」にはどんなものがあったかを確認しておきましょう。具体的には、以下のような単元が挙げられます。

【例】三角形の比、三角形の外心・内心・重心、チェバの定理・メネラウスの定理、三角形の辺と角、円に内接する四角形、円と直線、方べきの定理、2つの円の位置関係、直線と平面


――「図形の性質」に関する問題は、単体では入試であまり出題されないと聞きました。

中塚先生(以下、中塚)「そうですね。確かに、『図形の性質』だけで入試に出題されることはほとんどありません。しかし、図形の性質は、数学Ⅰの『三角比』や、数学ⅡBの『ベクトル』と一緒によく出てきます。

また、それぞれの単元に関連性がない代わりに、いろいろなものが混ざって1つの問題として出題される傾向があります。そのため、図形の性質を理解し、使いこなせるようにする必要があるんです。」


――「図形の性質」を得意にするためには、まずは何からマスターしていけばよいでしょうか?

中塚「まず第一に、『相似』をマスターすべきだと考えています。その理由は2つあって、1つ目はセンター試験を始めとした入試でよく出題されているということ。2つ目は、相似から説明できる定理もあるということが挙げられます。

今回は、まず『方べきの定理』を使って図形の問題を解いた後に、同じ例題を『相似』といった図形の性質を利用して解いてみたいと思います。」

方べきの定理を使って、図形の問題を解いてみよう

中塚「次の図のように、直線ABと直線CDの交点をPとするとき、PA・PB=PC・PDになることを『方べきの定理』といいます。」

中塚「この定理を使うと、次の例題を解くことができます」

【答え】
(1) 6x=24
x=4

(2) 5×(x+5)=4×10
       x+5=8
        x=3

中塚「(2)は分配法則を使わずに、左辺の5と右辺の10を5で割ってあげると、『スマート』に素早く解くことができますよ。」

相似を利用して、図形の問題を解いてみよう

中塚「答えを出すことはできましたが、実は先ほどの例題は、方べきの定理を使わなくても、解くことができるんです。まずは、中学校で習った『三角形の相似条件』を思い出してみましょう。」

【三角形の相似条件】
2つの三角形は次の各場合に相似である。

1. 3組の辺の比が、すべて等しい
2. 2組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい
3. 2組の角が、それぞれ等しい

中塚「また、同じく中学で習った『円周角の定理』を思い出してみましょう。『同じ弧に対する円周角は等しい』という性質がありましたよね。」

中塚「『相似条件』と『円周角の定理』を利用すれば、さきほどの例題(1)が解けます。補助線を2本引けば、∠PAD=∠PCB、∠PDA=∠PBCであることが分かります。」

中塚「対応する辺の比を取り、比例式を書いて計算すれば、以下のように答えが出せます。」

x:8=3:6
  x=4

方べきの定理は、相似から証明することができる

中塚「続いて、例題(2)を方べきの定理を使わずに解いてみましょう。この問題は、『円に内接する四角形』の定理が使えますよ。次の図のどの部分に補助線を引けばいいのか、考えてみてくださいね。」

中塚「補助線を引くべき部分は、『AとCの間』と『BとDの間』です。『円に内接する四角形は、向かい合う角の外角と等しい』という性質があります。これによって、∠PAC=∠PDBということが分かります。もちろん、∠APC=∠DPBでもあるので、2つの相似な三角形を見つけることができました。あとは、比例式を書いて計算をすれば、xの長さが出せます。」

x+5:4=10:5
  x+5=8
    x=3

中塚「さて、初めに『相似から説明できる定理もある』お話をしましたが、『方べきの定理』は、相似から説明できることに気づきましたか?」


――例題(1)でいえば、2つの相似な三角形があり、「PA:PC=PD:PB」になっているので、「PA・PB=PC・PD」が成立するということですね。

中塚「その通りです。同様に、例題(2)も2つの相似な三角形があり、「PA:PD=PC :PB」になっているので、「PA・PB=PC・PD」が成立するということです。」


――補助線をどこに引けばいいか分からなくなってしまう高校生も多いと思います。どうすれば、引けるようになりますか?

中塚「今回の問題の場合、補助線を引けるようにするには、『円の定理』を覚えておく必要があります。『円の定理には、どのようなものがあったか?』と自分に問いかけてみて、パッと思い浮かぶ人は、的確に補助線を引くことができるはずです。また、問題演習を重ねることも大事ですね。パターンを知って、補助線を引く感覚をつかんでいくとよいでしょう。」


――今回の問題を、方べきの定理でなく、相似を使って解く理由は何なのでしょうか?

中塚「問題によっては、『相似を利用して解け』と指定してくる場合もあります。また、最初にお話ししたように、入試において『図形の性質』は、いろいろな単元が混ざった問題が出題されます。だから、『なぜ、そうなるのか』をしっかりと理解して、使いこなさるようにしなければいけません。そのために、まず『相似』を押さえておきましょう。」


――ありがとうございました。


「相似」をはじめとして、今回、中塚先生のお話に出てきた「図形の性質」は、中学生で習ったことがいくつも登場しました。既習事項をどれだけ「使いこなせるか」が、数学を得意とするか、苦手とするかの分かれ目といえるでしょう。みなさんも、まずは中塚先生のアドバイスどおり、「相似」をマスターするところから始めてみてはいかがでしょうか?