【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜場合の数と確率〜

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【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜場合の数と確率〜

2016.11.02

提供元:マイナビ進学編集部

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【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜場合の数と確率〜

数学Aを習い始めると、すぐに登場するのが「場合の数と確率」。今まで、なんとなく解法パターンを覚えて解いてきてしまった人もいることでしょう。でも、実は「場合の数と確率」を得意にするには、「記号の意味」といった本質を理解することが大事なんです。

今回は、オンライン学習塾「アオイゼミ」で数学を担当されている中塚祐太郎先生に「場合の数と確率」の問題を解くときの考え方について伺いました。

この記事をまとめると

  • PとCの意味を理解し、使い分けができるようにしよう
  • !(階乗)の意味を押さえよう
  • 「C(P)だけ使って問題を解く」練習を繰り返せば、「場合の数と確率」は得意になる

PとCの違いを押さえよう

――「場合の数と確率」の問題を解く際に、大事なことを教えてください。

中塚先生(以下、中塚)「まずは、P(パーミテーション)、C(コンビネーション)の定義を押さえた上で、それぞれを使い分けられるようにすることが大事です。以下が、それぞれの定義です。」

【Pとは……】
異なるn個のものから、r個“取って並べる”総数をnPrと表す。

【Cとは……】
異なるn個のものから、r個“取る”組み合わせの総数をnCrと表す。

中塚「つまり、Pは『選んで並べる』、Cは『選ぶ』という違いがあります。では、実際に問題を解いてみましょう。次の例題においては、PとCどちらを使えばいいでしょうか?」


【例題】
(1) 5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中から、異なる3個の数字を並べてできる3桁の整数は何個あるか答えなさい。

(2) 5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中から、異なる3個の数字を3つ選ぶときの場合の数を答えなさい。


中塚「(1)は『並べてできる』からP、(2)は『選ぶ』からCを使えばいいことが分かりますね。計算式と答えは次の通りです」

!(階乗)の意味を押さえよう

――PとCの意味はよく分かりました。次に理解すべきことは何でしょうか?

中塚「!(階乗)の意味を押さえましょう。」

【!とは……】
異なるn個のものを、n個“並べる”総数をnPnと表す。

(例)「3個の数字を並べたときの場合の数」
3!=3・2・1=6通り

中塚「『nPn=n!』であることを知っておきましょう。P、C、!の違いを比較すると次のようになります。それぞれの日本語での定義を覚えておいてくださいね。」

【P】選んで並べる
【C】選ぶ
【!】並べる


――Pと!の違いがよく分からないのですが……。

中塚「Pは『5枚のカードから、3枚選んで数字を作る』というように、複数あるものから『“いくつか”選んで並べる』、!は『5枚のカードから、5枚選んで数字を作る』というように、『“すべて”並べる』という違いがあります。」

Pを使っても、Cを使っても問題は解ける

中塚先生「実は、先ほどの【例題】ですが、 (1)をC、(2)をPを使って解くこともできるんですよ。それには、!の概念を使う必要があります。」

もう一方はこう考えます。

中塚「上記のように、Cを!でかけ算すれば、Pになり、Pを!で割れば、Cになることが分かりますね。」

中塚「先ほどの式をまとめると、上記の図になります。『選ぶ(C)』に『並べる(!)』をかけ算しているから『選んで並べる(P)』になり、『選んで並べる(P)』を『並べる(!)』で割っているから『選ぶ(C)』になるわけです。」


――Cに!を足し算して、Pにしようと考えてはいけないのでしょうか?

中塚「数学において、“かつ”にあたるものは『かけ算』をし、“または”にあたるものは『足し算』をするという決まりがあります。今回の場合、『5個から3個選び、“かつ”並べる』ということなので、『かけ算』をする必要があるんです。」

!の概念を理解することが、「場合の数と確率」を得意にするコツ

中塚「では、先ほどの【例題】を、(1)はC、(2)はPを使って解いてみましょう。計算式と答えは以下の通りです。」

――今回、中塚先生に教わった考え方を使って、どのような練習をするといいですか?

中塚「それぞれの関係性を覚えておいて、普通はPを使って解く問題をCを使って解く、Cを使って解く問題をPを使って解く、という練習を重ねることをおすすめします。」


――なぜ、そういった練習をするとよいのでしょうか?

中塚「高校生が『場合の数と確率』に苦手意識を持ってしまうのは、『PとC、どちらを使えばいいのか分からない』という原因があるからです。これは、!の『並べる』という概念がどういうことか理解できていないために、起こってしまうエラーなんです。!を使ってかけ算したり、わり算したりする内に、『並べる』という概念を意識できるようになります。

ぜひ読者のみなさんも、学校のワークなどを使って『Cだけ使って解く』『Pだけ使って解く』練習をしてみてください。」


――ありがとうございました。


記号の意味を理解せずに、パターンでなんとなく解いてしまうと、後々つまずいてしまいます。「問題を解いていて分からなくなったとき、『そもそも、この記号はどういう意味なんだろう?』と定義まで立ち戻る必要があります」と中塚先生はお話しされていました。みなさんも、しっかりと意味や理屈を理解して、「場合の数と確率」を得意にしていきましょう!