【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜二次関数の最小の求め方〜

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【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜二次関数の最小の求め方〜

2016.11.02

提供元:マイナビ進学編集部

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【苦手を克服】これだけは押さえておきたい〜二次関数の最小の求め方〜

高校数学で最初の関門といわれているのが、「二次関数」。みなさんの中でも、二次関数を「大の苦手!」と感じている人も多いのではないでしょうか。でも、「解く際の手順」と、「なぜ、その解き方をするのか」を理解すれば、きっと二次関数を得意にすることができますよ。

今回は、オンライン学習塾「アオイゼミ」で数学を担当されている松井伸容先生に、「二次関数の最小の求め方」について教えていただきました。

この記事をまとめると

  • 二次関数の頂点の座標を求めるためには、まず平方完成を行う
  • 次に、場合分けをして、グラフを描いてみると分かりやすくなる
  • なぜ平方完成をするのか、どんな意味があるのかを理解することが大事

二次関数の最小の求め方:1. 頂点の座標を求めるために、平方完成を行う

――次の二次関数の例題の解き方と、解くときに意識すべきことについて教えてください。

【例題】
aは定数とする。関数f(x)=x^2-2ax+a(0≦x≦2)の最小値mを求めよ。
※xの2乗は「x^2」と表記する。

松井先生(以下、松井):まずは、この関数のグラフを描く必要があります。頂点の座標を定めるために、平方完成をしなければいけませんね。工夫して、2乗の形を完成させましょう。

f(x)=x^2-2ax+a
    =x^2-2ax+a^2-a^2+a
    =(x^2-2ax+a^2)-a^2+a
    =(x-a)^2-a^2+a

松井:(x-a)^2の「a」は、グラフがx軸方向に「+a」だけ、ずれていることを示しています。よって、頂点の位置は「a」であることが分かりました。さて、これからグラフを描いていきますが、みなさんならどんなグラフを描きますか? もしかすると、「x軸・y軸」まで丁寧に描こうと考えている方もいるのではないでしょうか。残念ながら、そう考えてしまった方は問題を読み込めていないんです。

二次関数の最小の求め方:2. 場合分けをして、グラフを描く

――なぜ、x軸・y軸を描いてはいけないのですか?

松井:そもそも、今回の場合は描けないからです。また、問題で問われているのは、『座標』ではなく『yの最小値』ですよね。だから、xの値によって『場合分け』したグラフを描いて、yの最小値を求めなければいけません。それでは、場合分けをしていきましょう。

【手順1】
頂点aが、0よりも左にある場合(a<0の場合)、
xの最小値は0になる。

f(x)=x^2-2ax+aに、x=0を代入すると、
y=aとなる。

【手順2】
頂点aが、0と2の間にある場合(0≦a<2の場合)、
xの最小値はaになる。

f(x)=x^2-2ax+aに、x=aを代入すると、
y=-a^2+aとなる。

【手順3】
頂点aが、2よりも右にある場合(2≦aの場合)、
xの最小値は2になる。

f(x)=x^2-2ax+aに、x=2を代入すると、
y=-3a+4となる。


【答え】
a<0のとき、最小値はy=a、 0≦a<2のとき、最小値はy=-a^2+a、 2≦aのとき、最小値はy=-3a+4


――この「<」と「≦」の違い、「イコール」に関しては、どう考えればいいですか?

松井:aが0のときには、「a<0」もしくは「0<a<2」のaと0の間に、aが2のときは、「a>2」もしくは「0<a<2」のaと2の間に、イコールを付けてあげてください。


――問題を解く際には、どのようなことに気を付けるべきですか?

松井:とにかく値の分からないもの(未知数)があったら、すべて場合分けをする習慣をつけましょう。はじめの内は、どのように場合分けをしていったらいいか迷うと思うので、先生にアドバイスを求めたり、インターネットで調べたりすることが大事ですね。

また慣れてきたら、右の図のように、一つのグラフですべての場合分けを行うのもおすすめです。

二次関数を得意にするために、「基本形」「標準形」「一般形」を理解しよう

――中学校では、2乗に比例する関数は、「y=ax^2」という式で表すと教わりました。この式と高校単元で出てくる複雑な式は、どのようなつながりがあるのでしょうか。

松井:基本的に、二次関数は、右のような「基本形」「標準形」「一般形」という式で表すことができます」

――なるほど。中学で教わった「y=ax^2」という「基本形」は、「y-0=a(x-0)^2」という「標準形」の式で表すことができるんですね。yとxの後についている数字は、頂点がどれだけずれているかを表しているわけですから、この場合はずれておらず、頂点の位置は、原点(0,0)であることが分かりますね。

松井:また、さきほどの例題でいうと、「f(x)=(x-a)^2-a^2+a」は、「一般形」から「標準形」に変形する途中の式ということになります。

グラフがx軸方向に「a」ずれていて、y軸方向に「-a^2+a」ずれていることが分かります。


――だから、平方完成をしなければいけないんですね。

松井:そうですね。平方完成とは、一般形を標準形に変形することを指すんです。そして、標準形と基本形を比較することによって、グラフがどれだけずれたかを理解することができます。


――納得しました。今回のように、数学の問題を解く際は、なぜそう解くかという「理由」を考えられるようにすべきなのでしょうか?

松井:数学が苦手な子ほど、理由を考えずに、解き方を丸暗記して対応してしまいがちですよね。でもそうすると覚えることが多すぎて、余計に数学が嫌いになってしまうんです。だから暗記に頼らずに、「なぜ、そう解くのかという理由」や「公式の意味」を考える必要があります。今回の例でいえば、「平方完成をする理由」「基本形・標準形・一般形の関係性」を理解することが大切です。


――ありがとうございました。


理屈や意味を理解せずに暗記をすると、せっかく覚えたことが、頭から抜け落ちてしまいやすくなるというデメリットもあります。読者のみなさんも、ぜひ松井先生の解説を頭に入れて、「なぜ、そう解くのかという理由」や「公式の意味」を理解し、二次関数をばっちりマスターしてくださいね!



※本文中の「^2」は、2乗を意味します。例:「x^2」=「xの2乗」