解けるときには世界が終わる?ハノイの塔伝説って知ってる?

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解けるときには世界が終わる?ハノイの塔伝説って知ってる?

2016.10.21

提供元:マイナビ進学編集部

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解けるときには世界が終わる?ハノイの塔伝説って知ってる?

皆さん、「ハノイの塔」を知っていますか?3枚の棒と円盤を用いたパズルゲームのことです。このパズルですが、ある枚数すべてを動かそうとすると世界が終わると言われています。世界が終わる!?なんて怖いゲームなのでしょう!
このちょっと怖い「ハノイの塔」を、数学的に考えてみましょう。

この記事をまとめると

  • ハノイの塔ってどんなゲーム?
  • ハノイの塔を解いてみよう!
  • ハノイの塔から学ぶ数学と論理的思考

ハノイの塔とは?

「ハノイの塔」とは、3本の棒と、中央に穴の開いた大きさの異なる複数の円盤から構成されます。イメージしづらい方は写真を見てみてください。一度は目にしたことがある人もいるのではないでしょうか?
ハノイの塔の遊び方ですが、スタート時点ではすべての円盤が左端の棒に、小さいものが上になるように順に積み重ねられています。円盤は1回に1枚ずつ、どれかの棒に移動させることができますが、小さな円盤の上に大きな円盤を乗せることはできません。すべての円盤を左端から右端に移動させられればクリアとなります。

何回でクリアできる?

さてこのハノイの塔ですが、何回の移動でクリアできるでしょう?実際に動かしてみれば分かりやすいですので、サイズの違う3枚のコインを用意してみてください。大きいコインの上に小さいコインを重ね、それを1枚ずつ移動させてみましょう。
3枚の円盤を左端から右端に動かそうとすると、最低7回でできます。4枚なら、15回となります。これは、数列の計算で導き出せます。

計算方法は、「円盤の枚数を n とすると、移動回数は 2n-1 (2の n 乗 マイナス1)」となります。

この式に当てはめると、実際に移動させなくても、必要な回数が導き出せます。例えば5枚の円盤を移動させる場合、この式に当てはめると、2の5乗-1=31回となります。同じように、10枚動かそうとすると、1023回必要です。
さて、ここで質問です。円盤を10枚動かす場合には1023回移動させますが、実際に移動させた場合、どのくらいの時間がかかるでしょうか?
単純に1回の円盤の移動に1秒かかるとした場合、1023回を動かそうとしたら、1023秒、つまり約17分かかります。
もし25枚の円盤を移動させようとすると、3,355万4431回となり、約1年必要です。35枚では約340億回(約1000年)となります。

では、64枚の円盤を左端から右端へ動かそうとすると、果たしてどれくらいかかるでしょうか?

ハノイの塔伝説と数学の論理的思考

実際に計算してみた人はいますか?
64枚を動かそうとすると、2の64乗-1=1844,6744,0737,0955,1615(1844京6744兆737億955万1615)回必要となり、実に約5800億年かかります。もはや想像もつかないほどの数字ですよね?ある枚数を動かそうとすると世界が終わると言われているのは、「ある枚数を動かそうとすると、世界が終わりそうな頃まで時間がかかる」という意味のようですね。
1枚の紙を半分に折り、また半分に折っていくことを繰り返すと、43回折るころには月に届くというお話を聞いたことはありませんか?実際にやってみると分かりますが、紙は1回折ると2枚分の厚さになります。そこからもう1回折ると倍の4枚、さらに折ると8枚分の厚さとなります。もともとの紙の厚さを0.08ミリとしたとき、折った回数の紙の厚さを求める計算式は、「紙を折った回を n とすると、2n×0.08mm(2の n 乗 かける0.08mm)」となります。43回折ったときの厚さはおよそ78万kmであり、付と地球との距離は約38万kmですから、余裕で月に届くほどの厚さになります。
現実的には、月に届くほどの大きな紙を用意することは難しいですが、数学は途方もない数字を導き出すことができます。

数学なんて役に立たないじゃないか。と思うかもしれませんが、数学とは数字を計算するだけではなく、考え方(ロジックや思考)が大切な学問です。ハノイの塔の移動回数を導くとき、人は法則性を見つけて、「2n-1」という数式で導けることを発見しました。「物事を順序立てて考える」、つまり論理的思考を養うのが、数学という学問なのです。論理的思考は社会に出てからも非常に大切な考え方ですので、「数学」について本気で勉強してみるのも良いかもしれませんよ?

この記事のテーマ
数学・物理・化学」を解説

私たちの生活基盤である自然界で生じるさまざまな事象や物質、それらが織りなす理論が研究対象です。宇宙や生物がどのようにして誕生し、どのような構造になっているのかという、究極的な知的探究心は人類ならでは。森羅万象の構造や性質、法則と変化を探求する物理や化学、その習得に必要な数学というように、これらの学問は互いに深く関連しています。未知の領域への研究を進めながら、さまざまな原理解明をしていく分野です。

「数学・物理・化学」について詳しく見る

この記事で取り上げた
「数学」
はこんな学問です

高校で学ぶ数学をさらに深く追究したり、異なる視点から考えたりする学問。主要な分野としては、方程式で数の関係の成り立ちを表す「代数学」、図形などの性質を研究する「幾何学」、微積分に代表される「解析学」がある。また、これらとは違う視点で、数学を活用してさまざまな現象を数理モデルで表そうとする「応用数学」もある。コンピュータ技術との関わりも深いため、ますます重要性が増している分野である。

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